Galoisgruppen sind grundlegende Objekte der Mathematik, mit deren Hilfe man entscheiden kann, ob eine Polynomgleichung durch geschachtelte Wurzelausdrücke gel?st werden kann. In den letzten Jahren konnte der Antragsteller gro?e Fortschritte bei der praktischen Berechnung von Teilk?rpern und Galoisgruppen über den rationalen Zahlen erzielen. Obwohl die implementier-ten Verfahren inzwischen Galoisgruppen von Polynomen in hohem zweistelligem Grad bestimmen k?nnen, ist die Galoisgruppenberechnung immer noch ein sehr schwieriges Problem, und es ist nicht bekannt, ob es hierzu Algorithmen mit Polynomlaufzeit gibt. Bei der Teilk?rperberechnung algebraischer Zahlk?rper entwickelte der Antragsteller neue Algorithmen, welche in polynomieller Laufzeit ein System von erzeugenden Teilk?rpern ausrechnet. Alle Teilk?rper k?nnen dann als Schnitte dieser erzeugenden Teilk?rper beschrieben werden und die Laufzeit ist dann zus?tzlich linear in der Anzahl der Teilk?rper. In diesem Projekt sollen nicht-triviale Algorithmen für die Berechnung von Teilk?rpern und Galois-gruppen über lokalen K?rpern, d.h. p-adischen K?rpern und lokalen Funktionenk?rpern, entwickelt und implementiert werden. Es besteht berechtigte Hoffnung, dass man hierdurch auch die Galois-gruppenberechnung über globalen K?rpern deutlich verbessern kann. Zur Durchführung des Projekts muss man einerseits die Struktur von lokalen K?rpern theoretisch sehr genau verstehen, andererseits soll am Ende eine Implementierung entstehen. Dies ergibt ein sehr sch?nes Wechselspiel zwischen reiner Mathematik und Computeralgebra. Die Teilk?rperberechnung von lokalen K?rpern wird auf das Faktorisieren von Polynomen und dem L?sen von linearen Gleichungssystemen über dem Grundk?rper zurückgeführt. Da der Output der Faktorisierungen nur approximierte Ergebnisse liefert und diese als Input für die linearen Gleichungen dienen, müssen wir uns wie in der Numerik mit der Korrektheit der Ergebnisse auf Grund von Pr?zisionsproblemen besch?ftigen. Das Hauptproblem der Galoisgruppenberechnung über lokalen K?rpern besteht darin, dass wir keinen einfachen Zugriff auf Approximationen der Nullstellen bekommen und daher die globalen Algorithmen nicht übertragen werden k?nnen. Bei der Galoisgruppenberechnung wollen wir die bekannte Struktur der absoluten Galoisgruppe ausnutzen und Methoden aus der lokalen Klassenk?rpertheorie verwenden.